Przedstawiona tu metoda, choć odwołuję się w niej do kilku rezultatów, powszechnie znanych wcześniej, i uzyskanych przez innych, jest, jako całość – oryginalnym wynikiem mojej własnej pracy. Dlatego też ja sam ponoszę odpowiedzialność za jakieś w niej niedopatrzenia, błędy, czy też wszelakie inne ułomności. W szczególności zaś mnie, i tylko mnie obciążają ewentualne niedociągnięcia metodologiczne, oraz najróżniejsze uchybienia w terminologii. Proszę o wyrozumiałość! Równocześnie – za każdą kompetentną uwagę czy choćby komentarze, pozwalające ulepszyć całość – bardzo będę wdzięczny.

Autor

 

Rzeszoto kanalikowe,

©raszowanie liczb pierwszych,

ich rozkład na czynniki… złożone (sic!),

oraz: czy klasyfikacja L.p. ze względu

na wartość dominiki jest „naturalna”

R. B. Szulc

 

.

I – Wprowadzamy klasyfikację ©-Rasz liczb pierwszych

 

Podstawą poniższej klasyfikacji będą reszty uzyskiwane z dzielenia każdej L.p. przez (odpowiednio wybrane) inne liczby pierwsze (kongruencje).

 

Dla L.p większych od 2 mamy zawsze: mod(p;2)=1

Uwaga: Powszechnie przyjęty w matematyce zapis powyższego wygląda tak:

a mod d = r  - jednak dla uniknięcia kłopotów z elementami graficznymi będę się posługiwał zapisem „technicznym”, czyli podanym wcześniej...

 

Dla mod(p;3) mamy już dwa wyniki: 1, oraz 2 – co oznacza, że uzyskujemy dwie klasy L. pierwszych, w zależności od ich podzielności przez 3. Każda z L.p. (dla p>3) musi się znaleźć albo w jednej, albo w drugiej klasie.

I tak w szczególności do klasy drugiej (reszta = 2) zaliczymy liczbę 5

            zaś do klasy pierwszej, dla której mod(p;3)=1 należy  liczba 7

 

Kolejne kroki klasyfikacji będziemy prowadzić za chwilę dalej, teraz określimy pewną wartość. Będzie to wielkość przesunięcia, które nazwałem dominiką: jest to wartość, jaką należy dodać, do już znalezionych L. pierwszych, aby otrzymać kolejne liczby, o takich samych kongruencjach.

Zdawałoby się, że w przypadku wyznaczania klasy ©-Rasz w oparciu o liczbę 3 – również i skok powinien wynosić 3, wszak w takim właśnie okresie pojawiają się identyczne reszty z dzielenia. A jednak – nie! Aby to uzasadnić, musimy wrócić do L. pierwszej wcześniejszej, czyli 2. Generuje ona liczby parzyste, wśród których jest jedyną liczbą pierwszą. Natomiast wzór na (bardziej nas interesujące) liczby nieparzyste wygląda następująco:

Wzór 1:  an= 1+n*2

i tylko wśród liczb otrzymanych z takiego ciągu arytmetycznego ma sens poszukiwanie dalszych L. pierwszych! Gdy to uwzględnimy – po dodatkowym przekształceniu – otrzymujemy (następujące warunki dla kolejnych L. pierwszych, ze względu na ich podzielność przez 3):

Wzór 2.2:   5bn= 5+n*(2*3)  oraz 7bn= 7+n*(2*3)  - Wzór 2.1

II – Oto właśnie nasz kluczowa wartość:  iloczyn, zamknięty powyżej w nawiasie (dominika), zawiera liczby pierwsze, odpowiedzialne za generowanie danego, konkretnego ciągu. Powrócimy do tego jeszcze.

III - Odźwierna. Występujący na pierwszym miejscu każdego takiego wyrażenia czynnik stały (w powyższych przykładach są to, odpowiednio, liczby: 5, oraz 7) nazwałem odźwierną, jako że właśnie owa wartość „wprowadza” pozostałe l. pierwsze…

 

Proszę przyjrzeć się dokładnie przeprowadzonemu wyżej „pominięciu” (liczb parzystych), oraz jego konsekwencjom. W poniższej metodzie taki krok stanowi podstawę postępowania! Bowiem dalej będziemy poszukiwać L. pierwszych pośród liczb „nietroistych”, niepodzielnych przez 5, przez siedem, etc…

 

 

Jak to wykazał Dirichlet (1837) – w ciągach tego typu (gdzie wielkości nazwane przeze mnie odźwierną, oraz dominiką, są liczbami względnie pierwszymi, czyli nie mają wspólnych podzielników innych niż 1) – pojawia się nieskończenie  wiele liczb pierwszych. Jednakże, co ważne! – nie wszystkie wyrazy ciągu to L.p.  Do tego zagadnienia również jeszcze wrócimy.

 

Jak wiadomo: wszystkie L. pierwsze, z wyjątkiem dwójki – są liczbami nieparzystymi. Oznacza to, że WSZYSTKIE (prócz 2) – są zawarte w ciągu określonym wzorem 1.

Uwaga! (1) –  w dalszych wywodach zastrzeżenia typu: z wyjątkiem 2, 3 lub „większe niż...”  itd. – będą zazwyczaj pomijane. Mam nadzieję, że nie doprowadzi to do jakichś nieporozumień.

 

Czy będziemy poszukiwać L. pierwszych za pomocą powyższych ciągów, rozwijając je w nieskończoność? Otóż właśnie – nie! I jest to dosyć ważna konsekwencja przyjętej metodyki rzeszota…

Jak to spostrzegliśmy przy dzieleniu przez trójkę – liczby pierwsze mogą dać w wyniku (modulo) jedynie dwie wartości: 1 lub 2. Od razu też pokazane zostały najbliższe takie liczby: 5 i 7. I jak się okazuje – dalej ciągnąć takiego szeregu „za trójką” (wg Wzoru 1) – nie ma potrzeby! Innymi słowy: wszystkie liczby pierwsze (większe od 7) znajdą się albo w jednym, albo w drugim z szeregów, podanych wzorami 2,1 – 2,2. O tym, w którym z nich – decyduje jedna wielkość, określona operacją mod(p;3)…

 

Gdy już to ustaliliśmy, to nie powinno sprawić kłopotów spostrzeżenie, że mod(p;5) również ma ograniczoną ilość wyników. Jeśli otrzymamy 0 – to znak, że badana liczba – nie jest L. pierwszą, to chyba zrozumiałe. Jednak jest prosty sposób, aby tego uniknąć. Mianowicie w szeregu:

Wzór 2.2:   5bn= 5+n*(2*3)

bierzemy dla n tylko wartości z przedziału <1;4> - zaś pisząc bardziej obrazowo: nie do 4-ki, lecz od 1 do [5-1]. Zapewni nam to otrzymanie każdej z możliwych reszt, z dzielenia przez 5. Otrzymać możemy tu jedynie cztery wyniki: 1; 2; 3 oraz 4, i, jak się okazuje: w ten niezbyt rozbudowany sposób otrzymamy je WSZYSTKIE!

W tym momencie nie powinno nas zdziwić to, że otrzymywane wyrazy ciągu na pewno nie będą się dzielić ani przez odźwierną, ani przez żaden ze składników, tworzących dominikę! Oczywiście: do tego właśnie zmierzaliśmy, jednakże nie znaczy to, że ów wniosek narzuca się „sam z siebie”. Dlatego też uwypuklam to ponownie: Otrzymywane wyrazy ciągu „nie dzielą się” nie tylko przez dominikę, ale też przez ŻADEN ze składników iloczynu, dominikę tworzącego. Wobec tych liczb – otrzymywane wyrazy zawsze będą względnie pierwsze. Niestety, nie oznacza to, że dzielnikami nie będą liczby, które w danym wzorze na konkretny ciąg – nie występują (a pojawią się jeszcze inne „kłopoty”)…

 

Podobnie postępujemy w przypadku siódemki: górny zakres dla n to [7-1] czyli liczba 6. Zaś pisząc ogólniej: dla dalszych, tak konstruowanych ciągów, dla każdej liczby p zawsze będzie to zakres od 1 do [p-1], lub też  < 1; p )

 

Jeśli mamy określoną odźwierną to, jak wykazane zostanie później – zawsze możemy ustalić właściwą dla niej dominikę. Gdy odźwierną jest 5, to z odpowiedniego ciągu (Wzór 2.2) otrzymamy wyniki: 11;  17; 23 oraz 29. Widzimy, że faktycznie: są to L. pierwsze…

 

Natomiast siódemka produkuje nam 6 liczb: 13; 19;  25;  31;  37;  43 – z których jedna – okazuje się być L. złożoną, jest bowiem potęgą 5-ki. Po chwili zastanowienia, dojdziemy do wniosku, że nie ma w tym nic zaskakującego! Wszak w naszym ciągu dla odźwiernej równej 7, { przypomnijmy wzór: 7bn= 7+n*(2*3)  }  - nie znalazł się żaden czynnik, który by stanowił jakiś restryktor dla pojawienia się, jako dzielnika, liczby pięć…

            Co więcej: jak się okazuje – nie ma prostego sposobu, aby tego uniknąć (w przypadku ogólnym, oczywiście). Ja w każdym bądź razie niczego takiego nie znalazłem; ani prostego, ani nawet niczego zawiłego, co pozwoliłoby na wyeliminowanie w jednym ciągu – pojawiania się rozwiązań, które okazują się być podzielne przez inne liczby, w danej gałęzi ©-Rasz – nie występujące… Sądzę, że taki stan rzeczy należy po prostu… przyjąć do wiadomości!

 

Czymże jest owa „zbędna” liczba 25? Zobaczmy:

Dla 25bn  bierzemy n z przedziału <1;24> wtedy (Wzór 3):  b = 25+n*(2*3*7)   generuje:

67; 109; 151; 193; 235; 277; 319; 361; 403; 445; 487; 529; 571; 613; 655; 697; 739; 781; 823; 865; 907; 949; 991; 1033 – Podzielmy je od razu na dwie grupy:

67; 109; 151; 193; 277; 487; 571; 613; 739; 823; 907; 991; 1033 – (nieco ponad 54 %) to liczby pierwsze, zaś

235; 319; 361; 403; 445; 529; 655; 697; 781; 865; 949 (czyli 11/24-tych) są złożone. Zauważmy, że aż 4 z nich są podzielne przez 5, czego przyczynę znaleźć dość łatwo: spójrzmy jeszcze raz na wzór 3 – wygeneruje on liczby podzielne przez piątkę zawsze, gdy przez ową liczbę będzie podzielna wielkość n. W przedziale <1;24> są właśnie 4 takie liczby, i dlatego tyleż otrzymaliśmy wartości postaci ...xx5

 

Jestem pewien, że Matematyk uznałby, że jeśli aż w 45 % wypadków uzyskaliśmy „błędny wynik” – to odnieśliśmy porażkę. Jednak będąc chemikiem „wydajność 13/24-tych” uważam za… bardzo zadowalającą! Dlatego też liczbę 25 traktuję jako „niewiele gorszy od innych” substrat pozwalający „produkować L. pierwsze”… No cóż, my chemicy musimy się bardzo często zadawalać wydajnością reakcji – niższą nawet kilkukrotnie!

 

Jak się okaże, z taką sytuacją będziemy mieli odtąd już do czynienia co krok: liczby wskazywane przez rzeszoto, jak już to sygnalizowane było wcześniej – nie zawsze są L. pierwszymi. Jednak są one, pomimo to – generatorami dla dalszych liczb pierwszych, dlatego też nie odrzucamy ich (owych L. złożonych), bowiem spowodowałoby to niezupełność naszego rozkładu: rzeszoto stałoby się „nieszczelne”, i moglibyśmy zacząć gubić liczby pierwsze! A nawet całe ich klasy… Liczby takie (złożone – jak w powyższym przykładzie liczba 25) wygenerowane przez prawidłowe i konsekwentne rozbudowanie rzeszota – nazwałem liczbami złoconymi. Choć nie są tak cenne jak L. pierwsze – to jednak nie powinno się ich pomijać. Sądzę zresztą, że kiedyś okaże się, iż jako grupa posiadają jakieś ciekawe, niedostrzegalne dziś właściwości…

 

. . Proszę zapamiętać: cenne są i liczby złocone, chociaż złożone. .

 

Inne, kolejne liczby złocone to: 25; 55; 77; 85; 119; 143; 145; 161; 187; 203... Zrozumiałe być powinno, że ich „produktywność” - np. wyrażona %-towo:  ~ p/(p+z)  - będzie zauważalnie niższa, niźli w przypadku L. pierwszych, bowiem dla każdej z odźwiernych, które stanowią iloczyn  p1*p2* ... *pk  otrzymamy ciąg, który zawsze będzie nam generował liczby złożone dla takich wartości n  dla których przynajmniej jedna z wymienionych wcześniej liczb (p1 ;  p2 ;  ... pk ) będzie dzielnikiem… Natomiast można zauważyć, że owe przykładowe liczby (p1 ;  p2 ;  ... pk ) raczej nie powinny pojawić się w dominice.

 

 

Wrócimy do liczb, których odźwierną jest 5-ka: 11; 17; 23 oraz 29. Otóż znany już szereg (Wzór 2.2):   5bn= 5+n*(2*3) – rozkłada się, w sposób pełny, na 4 następujące szeregi:

(Wzór 4.1):   11bn= 11+n*(2*3*5)  gdzie n є  <1;10>

(Wzór 4.2):   17bn= 17+n*(2*3*5)  gdzie n є <1;16>

(Wzór 4.3):   23bn= 23+n*(2*3*5)  gdzie n є <1;22>

(Wzór 4.4):   29bn= 29+n*(2*3*5)  gdzie n є <1;28>

 

I tu, dla kontrastu, pokażmy wzór ciągu, który odrzucamy:

(Wzór 5):  5zn = 5+ n*(2*3*5)  - bowiem, jak to wyraźnie widać, może on „produkować” wyłącznie takie liczby, które będą podzielne przez 5. Czyli: w tym szeregu nie pojawi się ani jedna liczba pierwsza. A czemu napisałem, że „go odrzucamy”? Bowiem stanowi on dopełnienie ciągu ujętego wzorem 2,2 – czyli że wszystkie liczby (zarówno pierwsze, jak i złożone, większe niż...), które możemy otrzymać jako rozwiązania w szeregu 2,2 pojawią się „dokładnie w jednym” z szeregów ujętych wzorami: 4,1 lub 4,2 lub 4,3 lub 4,4 – albo też wzorem 5. Odrzucając ten ostatni – pozbywamy się niniejszym tych liczb, które (w danej gałęzi ©-Rasz!) byłyby podzielne przez 5…

 

Rozkład ów oznacza, że WSZYSTKIE liczby pierwsze, które (przypomnijmy) dają mod(p;3)=2 znajdą się w jednym z czterech powyższych ciągów – oczywiście ze zrozumiałymi zastrzeżeniami: 1) wszystkie wyższe niż…

oraz 2) gdybyśmy powyższe ciągi rozwijali (o daną dominikę) w nieskończoność. Jednak, co już zapewne widać z przedstawionego dotąd schematu, zamiast w nieskończoność, będziemy to robić taką tylko ilość razy, która zapewni nam kolejny pełny rozkład. Zapamiętajmy:

 

Zasada rzeszota (1): dla każdej odźwiernej równej p, oraz prawidłowo dla niej wyznaczonej dominiki, musimy znaleźć jedynie (p-1) wyrazów ciągu, aby zapewnić sobie jej pełny rozkład, a co za tym idzie: późniejsze odnalezienie WSZYSTKICH liczb pierwszych, w danej gałęzi ©-Rasz.

Gorąco zachęcam do przeanalizowania powyższego tym wszystkim, którzy chcieliby się metodą rzeszota posługiwać…

 

Czym jest dominika? Jeśli spostrzeżemy, że dla każdej (większej niż 2 – tym razem) liczby pierwszej, jednoznacznie możemy wskazać jej odźwierną, to jest chyba od razu zauważalne, iż, w takim razie, każda odźwierna  (bez względu na to, czy jest L. pierwszą, czy złoconą) – ma swoją własną odźwierną, i tak „w dół” – aż do liczby 2. Dominika jest iloczynem tak znalezionych wskaźników, a przy tym swoistą kroniką, opisującą, w sposób skrócony, lecz całkowicie pewny coś, co można określić jako „historię powstania” każdej odźwiernej, i każdej liczby pierwszej (większej niż…)

 

Uważam, że jest to przejaw swoistego piękna, rządzącego tymi obiektami… Czyż to nie zaskakujące, że okazują się one występować niemal idealnie okresowo, można rzec: z regularnością metronomu?!

Jestem też przekonany, że przedstawiany niniejszym „rozkład liczb pierwszych, na czynniki… złożone (!!)” – jest, w pewien przekorny sposób, konstrukcją naturalną, i w pełni właściwą, oddającą „wewnętrzną strukturę” panującą wśród liczb pierwszych.

Dla uwypuklenia owej wewnętrznej struktury, oraz podkreślenia licznych pokrewieństw pomiędzy pozornie „samoistnymi” L. pierwszymi sądzę, że dominikę  powinno się zapisywać, w miarę możliwości (oraz, oczywiście: potrzeb!) – w postaci pełnej, bez skrótów,

 czyli: dla 89 mamy  b= 29+2*(2*3*5)  nie zaś b=29+60… choć, oczywiście – zależeć to będzie od wydźwięku, w jakim chcemy przedstawić dany rozkład.

Możemy teraz powiedzieć, że: dla liczby 89 odźwierną jest 29, zaś w jej „dominice zawiera się (lub: składa się ona z…) 2, 3 oraz 5 ”. Albo też wymienić tylko pewną część tych składników, które mają, w danym kontekście, jakieś zdecydowanie większe znaczenie…

Być może i w przypadku liczb złoconych – też powinno się tak postępować, co ułatwi szybkie rozpoznawanie liczb złoconych genetycznie, czyli takich, które „odziedziczą skazę DNA” po swej ułomnej, złożonej odźwiernej, i... przekażą ją (niestety) dalej. Oczywiście – tylko pewnej części swojego „potomstwa”, bowiem gdyby produkowały wyłącznie „śmieci” – to byśmy się nimi nie zajmowali, prawda?

 

            Warto też do przedstawionej klasyfikacji wprowadzić pojęcie generacji liczby pierwszej. Będzie to „stopień złożoności dominiki ” – czyli ilość czynników, dominikę tworzących. Np. dla liczby 89 mamy stopień = 3, bowiem jej dominika  jest iloczynem właśnie trzech liczb pierwszych, czyli L. 89 jest „L. pierwszą trzeciej generacji (wg klasyfikacji ©-Rasz)”... Pojęcie „generacji liczby pierwszej” może ułatwiać pewne poczynania związane z tymi obiektami – zapewne więc będzie użyteczne.

 

Jak napisałem wcześniej, liczby pierwsze „od zawsze” były obiektami „samoistnymi” i wydawały się wieść życie całkowicie niezależne od siebie nawzajem. Z ich występowaniem, raczej… swawolnym – nie można było powiązać żadnej wyraźnej (prostej) reguły. Czasami pojawiają się dość gromadnie, czasem pojedynczo, innym razem – jako bliźniaki. Po czym następowała niezrozumiała przerwa… Trudno się było w tym połapać!

 

Jak się okazuje: liczby te „rodzą się” ściśle okresowo, a do tego są stworzonkami rodzinnymi, i to w stopniu wręcz… niesamowitym! Każda z nich posiada matkę (odźwierną ), oraz cały szereg „babć”. Ma też pokaźny zbiór sióstr, których ilość jest określona wielkością:

(odźwierna  - 1), oraz – jeszcze bardziej imponujące potomstwo: liczba p ma ( p -1 ) córek! Zaś jeśli chodzi o wnuczki – no, to już po prostu trudno wręcz zliczyć… Jak to bywa w tak licznych rodzinach: nie do wszystkich można się przyznać, bowiem niektóre z sióstr, córek, a czasem i ktoś z przodków, o zgrozo! – nie są liczbami pierwszymi, a jedynie złoconymi…

            Im wyższa liczba pierwsza – w tym większej odległości od niej znajdziemy jej „siostry”, natomiast córek – musimy szukać jeszcze dalej. W bliższym jej otoczeniu mogą się znaleźć – co najwyżej - jakieś dalsze kuzynki: im bliżej „mieszkają” – tym mniejsze je łączy pokrewieństwo…

Zaś w szczególności liczby bliźniacze – łączy pokrewieństwo NAJDALSZE z możliwych! Parę słów o ich wzajemnych relacjach tu: (► L. bliźniacze – w „zamiarach”!)

 

Warto może teraz zrobić sobie lekką przerwę, i porównać rzeszoto z klasyczną metodą ► Eratostenesa (E~ sito)

 

Czy rzeszoto ma ono jakieś zalety, w porównaniu z E-sitem? No cóż, nie jest to narzędzie, które miałoby zastąpić doskonały produkt antyczny, wsparty dzisiejszą technologią krzemową, lecz – uzupełnić go. Rzeszoto można rozwijać „w górę” – bez konieczności wstępnego określania granicy poszukiwań. Co więcej – wcale nie musimy przy tym postępować zbyt skrupulatnie, i „śledzić” wszystkie powstające „kanały rozpadu”! Jeśli zależy nam na szybkim przejściu do liczb b. dużych, co wiąże się, oczywiście, z koniecznością użycia „L. pierwszych wysokiej generacji”, a nie dbamy przy tym o zupełność (np. pragniemy jedynie wygenerować podstawę klucza kryptograficznego) – to wybierając za każdym razem jedną tylko z możliwych wartości „okresu” n – zapewne raczej z tych większych – w kilku zaledwie, bądź kilkunastu krokach – otrzymamy całą wielką rodzinę wielocyfrowych liczb, które w znacznym procencie będą pierwszymi... Na pewno ów odsetek będzie wielo~, wielokrotnie wyższy, niż w przypadku stosowanego dziś nagminnie: wyznaczania losowego, a następnie sprawdzania kolejnych „kandydatów”!

Możemy też śledzić każdy z powstających ciągów, otrzymując po drodze wszystkie L. pierwsze. Jednakże stopień komplikacji takiego zadania rośnie lawinowo, wraz ze wzrostem wielkości odnajdywanych liczb. Pamiętajmy bowiem, że każda odnaleziona „liczba potencjalnie pierwsza” (nawet gdy okaże się złoconą) staje się odźwierną, a następnie „babcią” kolejnej, bardzo obszernej „klasy ciągów arytmetycznych”. Zaś liczba jej „kanałów rozpadu” jest określona prostym wzorem: p – 1

Oznacza to, że gałęzie naszego drzewa bezustannie wypuszczają nowe pączki (coraz więcej!), co pociąga za sobą konieczność zapisywania w pamięci komputera kolejnych wartości, umieszczania na stosie dalszych odwołań, stale rosnące zagnieżdżenia pętli… Hm, od pewnego momentu robi się tego naprawdę… dużo! W porównaniu z rzeszotem antyczne E-sito ma strukturę „niemal” linearną, klarowną i przejrzystą, przynajmniej jeśli chodzi o implementację...

 

Jednak rzeszoto stać się powinno narzędziem nieocenionym, gdy poszukujemy L. pierwszych, których cechy możemy jakoś określić „w języku zrozumiałym dla tej metody”. Jeśli wiemy, że szukana liczba powinna dawać resztę z dzielenia przez 3 równą 1, zaś mod(p; 37)=5, tudzież mamy inne, zbliżone charakterem informacje o niej – to rzeszoto będzie idealnym instrumentem do jej znalezienia!

 

Lecz najważniejszym zastosowaniem rzeszota jest kompletny i jednoznaczny podział liczb pierwszych na klasy, grupy, podgrupy, podklasy, pod-podgrupy… Dzięki temu możemy, zamiast wykazywać coś dla „konkretnych” liczb pierwszych – spróbować użyć całych „gałęzi ©-Rasz” w naszym poszukiwaniu! Decydującą rolę dla takiej możliwości odgrywa fakt, że potrafimy dokonać rozkładu zupełnego i jednoznacznego  liczb pierwszych na odpowiednie klasy. Zaś każdej klasy, na kolejne pod-klasy… A w takich badaniach – najczęściej! – fakt, iż otrzymywane liczby mogą być (w niemal połowie wypadków) złożone – nie stanowi wielkiej przeszkody. Bowiem ważne jest tylko to, aby określone gałęzie zawierały wszystkie L. pierwsze danej „klasy”!

 

Na zakończenie – jeszcze jeden ważny aparat, związany ze stosowaniem rzeszota. Jak się okazuje – nie musimy drzewa L. pierwszych konstruować progresywnie, czyli: „zawsze od dołu do góry”. Konstrukcja „degresywna” – również (► pobierz!) działa. Dzięki niej możemy bardzo szybko „©raszować” każdą liczbę pierwszą, na… czynniki złożone! Przykładowo – liczba pierwsza:

25 964 951  - ukaże nam, w 6 krokach obliczeniowych, następującą metrykę: Dominika = 2*3*5*11*221; odźwierna = 1871; odległość od „sióstr”= 72930; zaś pełne równanie to  b =  1871 + 356 * (2*3*5*11*221 )

Jak to widać po ilości czynników w dominice - jest ona liczbą 5-tej generacji (wg klasyfikacji ©-Rasz). Natomiast wszystkie jej „córki” (szósta generacja) znajdziemy posługując się wzorem:

b = 25 964 951 + n * (2*3*5*11*221*1871)  gdzie n є < 1 ; 25 964 951 - 1 >  ależ ona ma liczne potomstwo, prawda?! Za pomocą E-sita znalezienie tych wszystkich adresów – zajęłoby nieco czasu, nawet szybkiej maszynie, zgodzicie się chyba ze mną?

Cały ten legion córek ma cechy charakterystyczne, podobnie jak odcinek DNA w genach krewniaków: identyczne wartości odpowiednich reszt z dzielenia przez składowe dominiki: Ów „układ chromosomów” wygląda tak:

[              2;            3;            5;            11;          221;        1871;     ]  - odcinek „DNA” (dominika)

[              1;            2;            1;            01;          103;        1084;     ]  - jego wartości (reszty z dzielenia)

 

 

A co można powiedzieć o tym, jakie są „cechy podzielności” sióstr przez inne L. pierwsze, których nie ma w konkretnej dominice? Absolutnie nic!! A w każdym bądź razie: nie tylko nie należy się spodziewać w tym względzie jakichkolwiek podobieństw pomiędzy „kuzynkami”, ale nawet, jak sądzę, można oczekiwać całkowitego, i jak najdalej idącego zróżnicowania! W szczególności zaś: w niektórych wypadkach wartość „chromosomu” będzie wynosić zero, co oznacza, oczywiście, że dana liczba jest podzielna przez pewną „boczną”, mniejszą od niej, L. pierwszą, czyli że jest ona złożona. Obiekt taki nazwałem (zobacz ►) L. złoconą. Proszę zerknąć w odsyłacz, jest tam parę zdań o znaczeniu takich liczb.

 

 

 

 

Można też postawić pytanie: a jeśli spróbujemy konstruować szeregi, biegnące „na skos” powyższej klasyfikacji, np. b = 11 + n * ( 5 * 7 )  - to co? Nie wiem. Może otrzymamy jakąś inną, odmiennego typu klasyfikację, bowiem w rzeszocie gałęzie 5-ki, i 7-ki rozchodzą się nieodwołalnie już u samych korzeni… Jestem też zdania, że drzewo ©-Rasz ma strukturę „naturalną” – natomiast klasyfikacje inne, biegnące „w poprzek” tej struktury – będą już w jakiś sposób „sztuczne”. Tym niemniej: zachęcam do prób i poszukiwań!

 

Kontakt:  R.B.Szulc

 . . . .

 

. . index .